出産祝いをいただいたら、やはり内祝いを返すのが習慣です。頂いた物、金額の1/2〜1/3が相場です。出産後１ヶ月を過ぎた頃に贈るのがマナーですが、里帰り出産で自宅に帰るのが遅くなったり、子育てに忙しいのは理解してもらえると思いますので、生後３ヶ月くらいまでには、贈り終えておいた方がよいでしょう。
内祝いを贈る場合は、のしをかけますが、子供の名前を報告する意味でも、子供の名前を書いて贈りましょう。

内祝いを何にするか？

子育て中、それも生まれたばかりの赤ちゃんのケアをしながら、商品選びをするのは結構大変なこと。という事情やお好きなものを選んでほしい、という気持ちからも、最近では、出産の内祝いもカタログギフトが人気ナンバー１。２位はタオル、３位はスイーツと続くとか（ギフトコンシェルジュ調べ2019年）。　
出産祝いの内祝いは、1500～5000円くらいの予算となることが多いので、お菓子やタオルというのは、ちょうどいい予算感なのかもしれません。